多项分布概率公式的理解

多项分布是二项分布的推广。二项分布(也叫伯努利分布)的典型例子是扔硬币,硬币正面朝上概率为\(p\), 重复扔\(n\)次硬币,\(k\)次为正面的概率即为一个二项分布概率。而多项分布就像扔骰子,有6个面对应6个不同的点数。二项分布时事件\(X\)只有2种取值,而多项分布的\(X\)有多种取值,多项分布的概率公式为  \[P(X_{1}=x_1,\cdots ,X_{k}=x_{k})= \begin{cases}&\frac{n!}{x_{1}!,\cdots,x_{k}!}p^{x_{1}}\cdots p^{x_{k}}\quad \textrm{when}\sum^{k}_{i=1}{x_{i}=n}\\&0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\textrm{otherwise.} \end{cases}\]  这个公式看上去像是莫名其妙地冒出来的,想要了解它首先必须要知道组合数学中的多项式定理。

多项式定理:\(n\)是一个正整数时,我们有   \[(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{k})^n=\sum{\frac{n!}{r_1!r_2!\cdots r_k!}x_1^{r_1}\ldots x_k^{r_k}}\]   其中\(r_1+ \ldots + r_k=n,r_i \geq 0\)

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