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高斯混合模型的matlab实现（转）

高斯混合函数实现部分是基本上是转载的的pluskid大神文章里的里的代码，加了一点注释，并根据他给的方法二解决 covariance 矩阵 singular 的问题。

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function varargout = gmm(X, K_or_centroids)
% ============================================================
%转载自http://blog.pluskid.org/?p=39
% Expectation-Maximization iteration implementation of
% Gaussian Mixture Model.
%
% PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
% [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
%
%  - X: N-by-D data matrix.%需要注意的是这里的X包括了全部
%  - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of
%       components or a K-by-D matrix indicating the
%       choosing of the initial K centroids.
%
%  - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each
%       component generating each point.
%  - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM:
%       MODEL.Miu: a K-by-D matrix.
%       MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix.
%       MODEL.Pi: a 1-by-K vector.
% ============================================================
    threshold = 1e-15;
    [N, D] = size(X);
    
    if isscalar(K_or_centroids)
        K = K_or_centroids;
        % randomly pick centroids
        rndp = randperm(N);
        centroids = X(rndp(1:K),:);
    else
        K = size(K_or_centroids, 1);
        centroids = K_or_centroids;
    end
    
    % initial values
    [pMiu pPi pSigma] = init_params();
        
    Lprev = -inf;
    while true
        Px = calc_prob();%计算N(x|mu,sigma)
        
        % new value for pGamma
        pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1);%估计 gamma 是个N*K的矩阵
        pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K);%对矩阵的理解真是出神入化,
   
        % new value for parameters of each Component
        Nk = sum(pGamma, 1);%N_K
        pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X;          %数字 *( K-by-N * N-by-D)加个括号有助理解
        pPi = Nk/N;
        for kk = 1:K
            Xshift = X-repmat(pMiu(kk, : ), N, 1);%x-u
            pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ...
                (diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk);%更新sigma
   
             end
        % check for convergence
        L = sum(log(Px*pPi'));
        if L-Lprev < threshold
            break;
        end
        Lprev = L;
    end
    
    if nargout == 1
        varargout = {Px};
    else
        model = [];
        model.Miu = pMiu;
        model.Sigma = pSigma;
        model.Pi = pPi;
        varargout = {pGamma, model};%注意！！！！！这里和大神代码不同，他返回的是px，而我是 pGamma
    end
        
    function [pMiu pPi pSigma] = init_params()%初始化参数
        pMiu = centroids;% K-by-D matrix
        pPi = zeros(1, K);%1-by-K matrix
        pSigma = zeros(D, D, K);%
        
        % hard assign x to each centroids
        distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ... % X is a N-by-D data matrix.
            repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ...% X->K列 U->N行 XU^T is N-by-K
            2*X*pMiu';%计算每个点到K个中心的距离
        [~, labels] = min(distmat, [], 2);%找到离X最近的pMiu，[C,I] labels代表这个最小值是从那列选出来的
    
        for k=1:K
            Xk = X(labels == k, : );% Xk是所有被归到K类的X向量构成的矩阵
            pPi(k) = size(Xk, 1)/N;% 数一数几个归到K类的
            pSigma(:, :, k) = cov(Xk); %计算协方差矩阵，D-by-D matrix,最小方差无偏估计
        end
    end
    function Px = calc_prob()
        Px = zeros(N, K);
        for k = 1:K
            Xshift = X-repmat(pMiu(k, : ), N, 1);%x-u
            lemda=1e-5;
            conv=pSigma(:, :, k)+lemda*diag(diag(ones(D)));%这里处理singular问题，为协方差矩阵加上一个很小lemda*I
            inv_pSigma = inv(conv);%协方差的逆
            tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2);%(X-U_k)sigma.*(X-U_k),tmp是个N*1的向量
            coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma));%前面的参数
            Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp);%把数据点 x 带入到 Gaussian model 里得到的值
        end
    end
end
%repmat 通过拓展向量到矩阵
%inv 求逆
%min 求矩阵最小值，可以返回标签
%X(labels == k, : ) 对行做筛选
% size(Xk, 1) 求矩阵的长或宽
%scatter 对二维向量绘图

注意：

pluskid大神这里最后返回的是px，我觉得非常奇怪，因为PRML里对点做hard assignment时是根据后验概率来判别的。于是我在大神博客上问了一下，他的解释是最大似然和最大后验的区别，前者是挑x被各个模型产生的概率最大的那个，而后者加上了先验知识，各有道理。一句话就茅塞顿开，真大神也~

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高斯混合模型参数估计详细推导过程

已知多元高斯分布的公式: \[N(x|\mu,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{D/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu))\] 其中\(D\)为维度，\(x\)和\(\mu\)均为\(D\)维向量，协方差\(\Sigma\)为D维矩阵。我们求得后验概率： \[w^{(i)}_j=Q_i(Z^{i}=j)=P(z^{(i)}=j|x^{(i)};\phi,\mu,\Sigma)\] 在E步，\(w^{(i)}_j\)是一个固定值，然后我们用它来估计似然函数\(L(X,Z;\theta)\)(这里\(\theta=(\phi,\mu,\Sigma)\))在分布\(Z\sim P(Z|X;\theta)\)上的期望\(E_{Z|X,\theta_t}[L(X,Z;\theta)]\)（式子1）: \[\begin{split} & \sum^m_{i=1}\sum_{z^{(i)}} Q_i(z^{(i)})\log{\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\phi,\mu,\Sigma)}{Q_i(z^{(i)})}} \\& =\sum^m_{i=1}\sum^k_{j=1} Q_i(z^{(i)}=j)\log{\frac{p(x^{(i)}|z^{(i)}=j;\mu,\Sigma)p(z^{(i)}=j;\phi)}{Q_i(z^{(i)})}} \\& =\sum^m_{i=1}\sum^k_{j=1} w^{(i)}_j\log{\frac{\frac{1}{(2\pi)^{D/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp(-\frac{1}{2}(x^{(i)}-\mu_j)^T\Sigma_j^{-1}(x^{(i)}-\mu_j))\cdot\phi_j}{ w^{(i)}_j}} \\\end{split}\] 由于分母\(w^{(i)}_j\)在取对数之后是常数，与参数无关，求导时自然会变成0，所以我们写公式的时候为了简便舍去分母。

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